Решение задачи 119

Пусть AB = CD = x, BC = AD = y. Так как M — середина BC, то BM = MC = y/2.

Периметр прямоугольника равен 36 см, значит,

$$2(x + y) = 36$$ $$x + y = 18$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABM и CDM. В них:

• AB = CD = x
• BM = MC = y/2

Следовательно, треугольники ABM и CDM равны по двум катетам.

Значит, ∠BAM = ∠CDM = α.

По условию MA ⊥ MD, следовательно, ∠AMD = 90°.

Тогда ∠BAM + ∠CDM = 90°.

$$α + ∠AMD + α = 180°$$ $$2α + 90° = 180°$$ $$2α = 90°$$ $$α = 45°$$

В треугольнике ABM:

$$tg(α) = \frac{BM}{AB}$$ $$tg(45°) = \frac{y/2}{x}$$ $$1 = \frac{y}{2x}$$ $$y = 2x$$

Подставим y = 2x в уравнение x + y = 18:

$$x + 2x = 18$$ $$3x = 18$$ $$x = 6$$

Тогда y = 2 * 6 = 12.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.