15. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC — ромб (см. рис. 261). Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Поскольку $$OABC$$ - ромб, то все его стороны равны: $$OA = AB = BC = CO$$. Так как $$OA$$ и $$OC$$ – радиусы окружности, то $$OA = OC = R$$, где $$R$$ – радиус окружности. Следовательно, $$OA = AB = BC = CO = R$$. Рассмотрим треугольник $$OAB$$. Так как $$OA = AB = R$$, то треугольник $$OAB$$ равнобедренный, и $$\angle AOB = \angle ABO$$. Аналогично, треугольник $$OBC$$ равнобедренный, $$OB = BC = R$$, и $$\angle BOC = \angle BCO$$. В ромбе противоположные углы равны, то есть $$\angle AOC = \angle ABC$$. Диагональ $$OB$$ делит ромб $$OABC$$ на два равных равносторонних треугольника. $$\angle AOC$$ является центральным углом, опирающимся на дугу $$AC$$. Поскольку $$OABC$$ - ромб, то углы \(\angle OAB = \angle BCO\) и \(\angle ABC = \angle AOC\). В ромбе диагональ является биссектрисой, значит, \(\angle ABO = \angle CBO\). Поскольку $$OABC$$ — ромб, \(\angle OAB = \angle OCB\). Треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ равнобедренные (так как $$OA = AB$$ и $$OC = BC$$), следовательно, \(\angle AOB = \angle ABO\) и \(\angle BOC = \angle BCO\). Пусть \(\angle AOB = x\). Тогда \(\angle ABO = x\). Аналогично, \(\angle BOC = x\) и \(\angle BCO = x\). Таким образом, \(\angle ABC = \angle ABO + \angle CBO = x + x = 2x\). Так как $$OABC$$ - ромб, то сумма углов \(\angle OAB + \angle ABC = 180^\circ\). Также \(\angle AOC = \angle ABC\). \(\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC = 2x\). В четырёхугольнике $$OABC$$ сумма углов равна $$360^\circ$$, следовательно, \(\angle OAB + \angle ABC + \angle BCO + \angle AOC = 360^\circ\). Значит, \(\angle OAB + 2x + \angle OCB + 2x = 360^\circ\). Так как \(\angle OAB = \angle OCB\), то \(2\angle OAB + 4x = 360^\circ\), \(\angle OAB + 2x = 180^\circ\). Поскольку $$\angle OAB = 60^\circ$$, то $$60 + 2x = 180$$, $$2x = 120$$, $$x = 60$$. Значит, $$\angle ABC = 2x = 120^\circ$$. Ответ: 120