1. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 5. Найдите площадь квадрата ABCD. Ответ:20

1. Рассмотрим квадрат ABCD, O - середина CD, AO = 5. Площадь квадрата равна стороне квадрата в квадрате.

Пусть сторона квадрата равна а, тогда CO = OD = a/2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. По теореме Пифагора $$AO^2 = AD^2 + DO^2$$. Подставим известные значения: $$5^2 = a^2 + (a/2)^2$$

Решим уравнение: $$25 = a^2 + a^2/4$$; $$25 = (4a^2 + a^2)/4$$; $$25 = 5a^2/4$$; $$100 = 5a^2$$; $$a^2 = 20$$. Площадь квадрата равна $$a^2$$.

Ответ: 20