Точка P не лежит в плоскости трапеции ABCD с основаниями AD и BC. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков PB и PC, параллельна средней линии трапеции.

Доказательство:

1. Пусть E - середина PB, F - середина PC. Тогда EF - средняя линия треугольника PBC.
2. По свойству средней линии треугольника, EF || BC и EF = 1/2 BC.
3. Средняя линия трапеции ABCD, назовем ее MN, параллельна основаниям AD и BC, и равна полусумме оснований: MN = 1/2(AD + BC).
4. Так как EF || BC и MN || BC, то EF || MN.
5. EF лежит в плоскости PBC, а MN лежит в плоскости ABCD. Поскольку точка P не лежит в плоскости ABCD, а прямая EF параллельна прямой MN, лежащей в этой плоскости, то прямая EF параллельна плоскости ABCD.
6. Однако, прямая EF лежит в плоскости, определяемой точками P, B и C. Плоскость PBC пересекает плоскость ABCD по прямой BC.
7. Таким образом, прямая EF параллельна прямой BC и средней линии трапеции MN.