54 Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, № ИР середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольни- ка ADC равна 48 см².

Дано: Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, M - середина BA, N - середина BC, P - середина BD, S_ADC = 48 см².

Доказать: (а) MNP || ADC; (б) Найти S_MNP.

Решение:

a) Доказательство:

1) MN - средняя линия треугольника ABC (M - середина BA, N - середина BC). (По условию)

2) Следовательно, MN || AC. (Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.)

3) NP - средняя линия треугольника BCD (N - середина BC, P - середина BD). (По условию)

4) Следовательно, NP || CD. (Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.)

5) MN и NP - пересекающиеся прямые в плоскости MNP.

6) AC и CD - пересекающиеся прямые в плоскости ADC.

7) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. (Признак параллельности плоскостей)

8) Следовательно, плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Найдем площадь треугольника MNP:

1) Плоскости MNP и ADC параллельны, следовательно, треугольники MNP и ADC подобны.

2) Коэффициент подобия k = BM / BA = 1/2, так как M - середина BA.

3) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S_MNP / S_ADC = k².

4) S_MNP = S_ADC * k² = 48 * (1/2)² = 48 * 1/4 = 12 см².

Ответ: а) Доказано, что плоскости MNP и ADC параллельны; б) S_MNP = 12 см².