Точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ делят окружность на три дуги, длины которых относятся как $$1:3:5$$. На окружности случайным образом выбирают точку $$X$$. Найдите вероятность того, что $$X$$ принадлежит дуге $$BC$$.

Пусть длина всей окружности равна $$L$$. Тогда длины дуг $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ равны соответственно $$\frac{1}{9}L$$, $$\frac{3}{9}L = \frac{1}{3}L$$ и $$\frac{5}{9}L$$.

Вероятность того, что точка $$X$$ принадлежит дуге $$BC$$, равна отношению длины дуги $$BC$$ к длине всей окружности:

$$P(X \in BC) = \frac{\text{длина дуги } BC}{\text{длина окружности}} = \frac{\frac{1}{3}L}{L} = \frac{1}{3}.$$

Ответ: $$\frac{1}{3}$$