105 Точки А и с лежат по одну сторону от прямой а. Перпел куляры АВ и CD к прямой а равны. а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

105. а) Рассмотрим рисунок. Так как AB и CD перпендикулярны прямой a, то углы ABD и CDB являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей BD. Поскольку AB = CD и прямые AB и CD перпендикулярны прямой a, то AB || CD. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы ABD и CDB равны. б) ∠ADB = 44°. Поскольку AB = CD и AB || CD, то четырехугольник ABDC - прямоугольная трапеция, в которой углы ABD и CDB равны. Значит, треугольники ABD и CDB равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы ABD и CDB равны. Обозначим ∠ABD = ∠CDB = x. В треугольнике ABD сумма углов равна 180°, значит, x + 44° + 90° = 180°. Отсюда x = 180° - 90° - 44° = 46°. Таким образом, ∠ABD = 46°. Аналогично, ∠CDB = 46°. Так как ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC и ∠ABD = ∠CDB, то ∠ABC = 46° + 90° = 136°.