2160. Точки А, В, С, Д, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:15:16. Найдите угол А четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Пусть x - коэффициент пропорциональности. Тогда дуги AB, BC, CD и AD равны x, 4x, 15x и 16x соответственно. Сумма градусных мер этих дуг равна 360°: $$x + 4x + 15x + 16x = 360°$$ $$36x = 360°$$ $$x = 10°$$ Таким образом, дуги AB, BC, CD и AD равны 10°, 40°, 150° и 160° соответственно. Угол A опирается на дугу BCD, которая состоит из дуг BC и CD. $$\angle A = \frac{1}{2} (дуга BC + дуга CD) = \frac{1}{2}(40° + 150°) = \frac{1}{2}(190°) = 95°$$ Ответ: 95°