1. Точки К и М лежат на сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD; АК = КВ, СМ : MD = 2 : 5. Выразите вектор КМ через векторы p = AB и ф = AD. АВ 2. Найдите координаты вектора ь, если b = c - d, č (-3; 6), d = (2; -2). 3 3. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, большая боковая сторона равна 20 см, средняя линия равна 7 см. Найдите основания трапеции.

Это задание по геометрии, а именно по теме «Векторы». Приступим к решению.

1. Для начала выразим векторы AK и AM через заданные векторы p и q.

   Так как AK = KB, то AK = 1/2 * AB = 1/2 * p.

   Далее, так как CM : MD = 2 : 5, то CM = 2/7 * CD. Следовательно, CM = 2/7 * p.

   Теперь выразим вектор AM как сумму векторов AD + DM:

   AM = AD + DM = q + (5/7) * DC = q + (5/7) * (-p) = q - (5/7) * p.

2. Теперь выразим вектор KM через найденные векторы:

   KM = AM - AK = (q - (5/7) * p) - (1/2) * p = q - (5/7) * p - (1/2) * p.

   Приведем подобные члены:

   KM = q - (10/14) * p - (7/14) * p = q - (17/14) * p.

   Таким образом, вектор KM выражается через векторы p и q следующим образом:

   $$KM = q - \frac{17}{14}p$$

3. Дано: вектор $$ \vec{b} = \frac{1}{3}\vec{c} - \vec{d}$$, где $$\vec{c} = (-3; 6)$$, $$\vec{d} = (2; -2)$$.

   Найти: координаты вектора $$\vec{b}$$.

   Решение:

   Сначала найдем $$\frac{1}{3}\vec{c}$$: $$ \frac{1}{3}\vec{c} = \frac{1}{3}(-3; 6) = (-1; 2)$$.

   Теперь вычтем вектор $$\vec{d}$$ из полученного вектора: $$\vec{b} = (-1; 2) - (2; -2) = (-1 - 2; 2 - (-2)) = (-3; 4)$$.

   Ответ: Координаты вектора $$\vec{b}$$ равны (-3; 4).

4. Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где угол A = 90°, а угол D = 120°. Большая боковая сторона CD = 20 см, средняя линия MN = 7 см.

   Найти основания трапеции AD и BC.

   Решение:

   Проведем высоту CH к основанию AD. В прямоугольном треугольнике CDH угол CDH = 120° - 90° = 30°.

   Так как CH - высота, то CH = CD * sin(30°) = 20 * 1/2 = 10 см.

   Также HD = CD * cos(30°) = 20 * (√3/2) = 10√3 см.

   Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть MN = (AD + BC) / 2.

   7 = (AD + BC) / 2, следовательно, AD + BC = 14.

   Так как AH = BC (ABCD - прямоугольная трапеция), то AD = AH + HD = BC + 10√3.

   Подставим AD в уравнение AD + BC = 14: BC + 10√3 + BC = 14.

   2BC = 14 - 10√3, BC = 7 - 5√3 см.

   Теперь найдем AD: AD = 14 - BC = 14 - (7 - 5√3) = 7 + 5√3 см.

   Ответ: AD = 7 + 5√3 см, BC = 7 - 5√3 см.