25. Точки М и № лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и / и касающейся луча АВ, если cos∠BAC=√15/4

Ответ: 15

1. Пусть \(O\) — центр окружности, проходящей через точки \(M\) и \(N\) и касающейся луча \(AB\) в точке \(K\).

2. По условию, \(AM = 8\) и \(AN = 30\). Обозначим радиус окружности за \(R\).

3. Так как окружность касается луча \(AB\) в точке \(K\), то \(OK \perp AB\), и \(OK = R\).

4. Пусть \(\angle BAC = \alpha\). Тогда \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}\). Найдем \(\sin \alpha\):

   \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]

   \[\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}\]

   \[\sin \alpha = \frac{1}{4}\]

5. Так как \(AK\) — касательная к окружности, по свойству касательной и секущей имеем:

   \[AK^2 = AM \cdot AN\]

   \[AK^2 = 8 \cdot 30 = 240\]

   \[AK = \sqrt{240} = 4\sqrt{15}\]

6. Рассмотрим треугольник \(\triangle AKO\). В этом треугольнике \(\angle KAO = \alpha\), \(AK = 4\sqrt{15}\), \(OK = R\). Тогда:

   \[\tan \alpha = \frac{OK}{AK} = \frac{R}{4\sqrt{15}}\]

   Так как \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}}\), получаем:

   \[\frac{R}{4\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}\]

   \[R = 4\]

Ответ: 4