25. Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 18 и 70 от вершины А. Найдите радиус окружности, прохо- дящей через точки Ми № и касающейся луча АВ, если cos/BAC=-=√35. 6

Пусть M и N лежат на стороне AC треугольника ABC, AM = 18, AN = 70. Окружность проходит через точки M и N и касается луча AB в точке K. Пусть AK = x. По теореме о касательной и секущей: AK^2 = AM * AN.

$$ x^2 = 18 \cdot 70 = 1260 $$ $$ x = \sqrt{1260} = \sqrt{36 \cdot 35} = 6\sqrt{35} $$

Пусть O - центр окружности, R - её радиус. Тогда OK = R. Рассмотрим треугольник AKO. По теореме косинусов: AO^2 = AK^2 + OK^2 - 2 * AK * OK * cos(∠BAK).

$$ AO^2 = x^2 + R^2 - 2xRcos(\angle BAK) $$ $$ AO = AM + MO = 18 + R $$

$$ (18 + R)^2 = 1260 + R^2 - 2\cdot 6\sqrt{35} \cdot R \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} $$ $$ 324 + 36R + R^2 = 1260 + R^2 - 70R $$ $$ 106R = 936 $$ $$ R = \frac{936}{106} = \frac{468}{53} $$

Ответ: 468/53