Точки Ми № лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки Ми № и касающейся луча АВ, если cos ∠BAC = √11 6

Пусть M и N - точки на стороне AC, AM = 36, AN = 44, O - центр окружности, касающейся AB в точке K. Тогда OK ⊥ AB.

Пусть радиус окружности равен R. Тогда OM = ON = OK = R.

Пусть ∠BAC = α. Тогда cos α = √11 / 6. Следовательно, sin α = √(1 - cos^2 α) = √(1 - 11/36) = √(25/36) = 5/6.

Пусть A - начало координат, ось x направлена вдоль AB, ось y - перпендикулярно AB. Тогда координаты точек M, N, O:

M(36 cos α, 36 sin α) = (36 * √11 / 6, 36 * 5 / 6) = (6√11, 30)

N(44 cos α, 44 sin α) = (44 * √11 / 6, 44 * 5 / 6) = (22√11 / 3, 110 / 3)

O(x, R)

Так как OM = ON = R, то

$$(x - 6\sqrt{11})^2 + (R - 30)^2 = (x - \frac{22\sqrt{11}}{3})^2 + (R - \frac{110}{3})^2$$ $$x^2 - 12\sqrt{11} x + 396 + R^2 - 60R + 900 = x^2 - \frac{44\sqrt{11}}{3} x + \frac{484 \cdot 11}{9} + R^2 - \frac{220}{3} R + \frac{12100}{9}$$ $$-12\sqrt{11} x - 60R + 1296 = - \frac{44\sqrt{11}}{3} x - \frac{220}{3} R + \frac{5324}{9} + \frac{12100}{9}$$ $$(-12\sqrt{11} + \frac{44\sqrt{11}}{3}) x + (-60 + \frac{220}{3}) R = \frac{17424}{9} - 1296$$ $$(\frac{-36\sqrt{11} + 44\sqrt{11}}{3}) x + (\frac{-180 + 220}{3}) R = \frac{17424 - 11664}{9}$$ $$\frac{8\sqrt{11}}{3} x + \frac{40}{3} R = \frac{5760}{9}$$ $$\frac{8\sqrt{11}}{3} x + \frac{40}{3} R = 640$$ $$8\sqrt{11} x + 40 R = 1920$$ $$\sqrt{11} x + 5 R = 240$$

Так как окружность касается луча AB, то центр окружности O лежит на перпендикуляре к AB, проходящем через точку касания K. Тогда координаты точки касания K(x, 0).

Рассмотрим треугольник OKA. OK = R, ∠OAK = α. Тогда sin α = OK / AO = R / x.

Следовательно, $$x = \frac{R}{\sin \alpha} = \frac{R}{\frac{5}{6}} = \frac{6R}{5}$$.

Подставим x в уравнение:

$$\sqrt{11} \cdot \frac{6R}{5} + 5R = 240$$ $$\frac{6\sqrt{11}}{5} R + 5R = 240$$ $$\frac{6\sqrt{11} + 25}{5} R = 240$$ $$R = \frac{240 \cdot 5}{6\sqrt{11} + 25} = \frac{1200}{6\sqrt{11} + 25} = \frac{1200(25 - 6\sqrt{11})}{(25 + 6\sqrt{11})(25 - 6\sqrt{11})} = \frac{1200(25 - 6\sqrt{11})}{625 - 36 \cdot 11} = \frac{1200(25 - 6\sqrt{11})}{625 - 396} = \frac{1200(25 - 6\sqrt{11})}{229} = \frac{1200}{229} (25 - 6\sqrt{11})$$

Ответ: $$\frac{1200}{229} (25 - 6\sqrt{11})$$