3. Точки Т, К, N и Р лежат на окружности, ТК \perp NP, NK = KP. Запишите, чему равны указанные величины, если TN = 10, NK = 5. PT = ?, TK = ?

Начнем с поиска PT. Так как NK = KP, а TK \perp NP, то TK является серединным перпендикуляром к NP. Значит, треугольник TNP - равнобедренный, и TN = TP = 10. Следовательно, PT = 10. Теперь найдем TK. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный TK, NK и частью NP. Так как TK перпендикулярна NP и NK = KP = 5, то рассматриваем прямоугольный треугольник, где один катет равен 5, а другой нужно найти. В данном случае, чтобы найти ТК, нужно воспользоваться теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является TN (или TP, оба равны 10), а один из катетов NK = 5. $$TK = \sqrt{TN^2 - NK^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$$ Ответ: PT = 10, TK = $$5\sqrt{3}$$