Толя взял стрелочный вольтметр, рассчитанный на измерение напряжения не более 4 B, и решил увеличить его предел измерений до 8 В. Для этого Толя присоединил последовательно к вольтметру дополнительный резистор и переградуировал шкалу прибора, получив тем самым вольтметр с увеличенным внутренним сопротивлением и расширенным диапазоном измерений. Таким образом, когда вольтметр по старой шкале показывал значение напряжения 4 В, на новой шкале стрелка указывала на значение 8 В. 1) Если напряжение на последовательно соединённых вольтметре и дополнительном резисторе составляет 8 В, а напряжение на вольтметре составляет 4 В, то чему равно напряжение на резисторе? 2) Если считать, что первоначально внутреннее сопротивление вольтметра составляло 1 кОм, то чему равно сопротивление дополнительного резистора, который Толя присоединил к вольтметру? 3) Точность изготовления резисторов на заводе составляет ±5 % указанного на них значения сопротивления. В каком диапазоне может лежать суммарная величина напряжения на резисторе и вольтметре, если вольтметр по старой шкале показывает 1 В? Считайте показания вольтметра по старой шкале точными. Напишите полное решение этой задачи.

Решение: 1) Напряжение на резисторе: Так как вольтметр и резистор соединены последовательно, общее напряжение равно сумме напряжений на вольтметре и резисторе. Поэтому, чтобы найти напряжение на резисторе, нужно вычесть напряжение на вольтметре из общего напряжения: $U_R = U_{общ} - U_V = 8 В - 4 В = 4 В$ Напряжение на резисторе равно 4 В. 2) Сопротивление дополнительного резистора: По закону Ома, напряжение $U$ равно произведению тока $I$ на сопротивление $R$: $U = IR$. Так как вольтметр и резистор соединены последовательно, ток через них одинаков. Обозначим сопротивление вольтметра как $R_V$, а сопротивление резистора как $R_R$. Тогда: $I = \frac{U_V}{R_V} = \frac{4 В}{1 кОм} = 0.004 А$ Сопротивление резистора: $R_R = \frac{U_R}{I} = \frac{4 В}{0.004 А} = 1000 Ом = 1 кОм$ Сопротивление дополнительного резистора равно 1 кОм. 3) Диапазон суммарного напряжения: Если вольтметр по старой шкале показывает 1 В, то по новой шкале он показывает 2 В (так как предел измерений увеличили в 2 раза). Ток через вольтметр и резистор: $I = \frac{U_V}{R_V} = \frac{1 В}{1 кОм} = 0.001 А$ Напряжение на резисторе: $U_R = IR_R = 0.001 А * 1 кОм = 1 В$ Суммарное напряжение: $U_{общ} = U_V + U_R = 1 В + 1 В = 2 В$ Учитывая погрешность резистора ±5 %: $R_{R_{min}} = 1 кОм - 0.05 * 1 кОм = 0.95 кОм$ $R_{R_{max}} = 1 кОм + 0.05 * 1 кОм = 1.05 кОм$ Минимальное напряжение на резисторе: $U_{R_{min}} = I * R_{R_{min}} = 0.001 А * 0.95 кОм = 0.95 В$ Максимальное напряжение на резисторе: $U_{R_{max}} = I * R_{R_{max}} = 0.001 А * 1.05 кОм = 1.05 В$ Минимальное суммарное напряжение: $U_{общ_{min}} = U_V + U_{R_{min}} = 1 В + 0.95 В = 1.95 В$ Максимальное суммарное напряжение: $U_{общ_{max}} = U_V + U_{R_{max}} = 1 В + 1.05 В = 2.05 В$ Ответ: 1) Напряжение на резисторе: 4 В 2) Сопротивление дополнительного резистора: 1 кОм 3) Диапазон суммарного напряжения: от 1.95 В до 2.05 В Развёрнутый ответ: 1. Мы определили напряжение на резисторе, вычтя напряжение на вольтметре из общего напряжения цепи. Это стало возможным, потому что вольтметр и резистор соединены последовательно, и общее напряжение распределяется между ними. 2. Чтобы найти сопротивление дополнительного резистора, мы использовали закон Ома. Сначала мы вычислили ток, протекающий через вольтметр, используя известное сопротивление вольтметра и напряжение на нём. Затем, зная ток и напряжение на резисторе, мы рассчитали его сопротивление. 3. Чтобы определить диапазон суммарного напряжения с учётом погрешности резистора, мы сначала рассчитали минимальное и максимальное значения сопротивления резистора, учитывая ±5 % погрешность. Затем, используя эти значения, мы рассчитали минимальное и максимальное напряжения на резисторе и, соответственно, минимальное и максимальное суммарные напряжения.