Толя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 23, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 11, но больше 7. Какие два числа задумал Толя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем условия задачи. Пусть задуманные числа будут $$a$$ и $$b$$. Мы знаем, что $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа.
2. Шаг 2: Условие 1: сумма чисел равна 23. Математически это записывается как $$a + b = 23$$.
3. Шаг 3: Условие 2: разность чисел больше 7 и меньше 11. Без потери общности, предположим, что $$a > b$$. Тогда $$7 < a - b < 11$$.
4. Шаг 4: Перебираем возможные натуральные значения для $$a - b$$. Возможные целые значения разности: 8, 9, 10.
5. Шаг 5: Решаем систему уравнений для каждого возможного значения разности:
   • Случай 1: $$a - b = 8$$. Складываем это уравнение с $$a + b = 23$$:
     $$(a - b) + (a + b) = 8 + 23$$
     $$2a = 31$$
     $$a = 15.5$$. Это не натуральное число, поэтому этот случай не подходит.
   • Случай 2: $$a - b = 9$$. Складываем это уравнение с $$a + b = 23$$:
     $$(a - b) + (a + b) = 9 + 23$$
     $$2a = 32$$
     $$a = 16$$. Находим $$b$$: $$16 + b = 23 \rightarrow b = 7$$. Проверяем: $$16$$ и $$7$$ — натуральные числа. $$16 + 7 = 23$$. $$16 - 7 = 9$$, что больше 7 и меньше 11. Этот вариант подходит.
   • Случай 3: $$a - b = 10$$. Складываем это уравнение с $$a + b = 23$$:
     $$(a - b) + (a + b) = 10 + 23$$
     $$2a = 33$$
     $$a = 16.5$$. Это не натуральное число, поэтому этот случай не подходит.
6. Шаг 6: Доказываем, что других вариантов нет. Мы рассмотрели все возможные целые значения разности между 7 и 11 (8, 9, 10). Поскольку $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа, их сумма и разность также должны быть целыми числами. При решении систем уравнений мы получили, что только при разности 9 числа $$a$$ и $$b$$ являются натуральными.

Ответ: Числа 16 и 7.