Толя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 23, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 11, но больше 7. Какие два числа задумал Толя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

1. **Обозначим числа:** Пусть первое число будет x, а второе y. Из условия известно: (x + y = 23) (сумма чисел равна 23) (7 < |x - y| < 11) (разность чисел больше 7, но меньше 11). 2. **Определим возможные разности:** Разность между числами может быть 8, 9 или 10. 3. **Рассмотрим все возможные случаи:** * Случай 1: |x - y| = 8 Решим систему уравнений: (x + y = 23) (x - y = 8) Сложим уравнения: ( 2x = 31 ), ( x = 15.5 ) что не является натуральным числом. Если x - y = -8 то сложив получим ( 2x = 15), ( x = 7.5 ) что также не является натуральным. * Случай 2: |x - y| = 9 Решим систему уравнений: (x + y = 23) (x - y = 9) Сложим уравнения: ( 2x = 32 ), ( x = 16 ) ( y = 23 - 16 = 7 ). Получим числа 16 и 7 Проверим: ( 16 + 7 = 23 ), ( |16 - 7| = 9), удовлетворяет условиям. Если x - y = -9 то сложив получим ( 2x = 14), ( x = 7 ) ( y = 23 - 7 = 16 ). Получим числа 7 и 16. Проверим: ( 7 + 16 = 23 ), ( |7 - 16| = 9 ), удовлетворяет условиям. * Случай 3: |x - y| = 10 Решим систему уравнений: (x + y = 23) (x - y = 10) Сложим уравнения: ( 2x = 33 ), ( x = 16.5 ) что не является натуральным числом. Если x - y = -10 то сложив получим ( 2x = 13), ( x = 6.5 ) что также не является натуральным. 4. **Запишем ответ:** Единственные натуральные числа, которые удовлетворяют условиям задачи, это 16 и 7. **Ответ:** Толя задумал числа 16 и 7.