Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 15, CD = 17. Найдите AD.

Если трапеция описана около окружности, то суммы её противоположных сторон равны. То есть, $$AB + CD = BC + AD$$.

Нам дано, что $$AB = 15$$ и $$CD = 17$$. Нужно найти $$AD$$.

Сначала найдем сумму $$AB + CD$$:

$$AB + CD = 15 + 17 = 32$$

Теперь мы знаем, что $$BC + AD = 32$$. Поскольку нам нужно найти $$AD$$, давайте выразим $$BC$$ через известные параметры трапеции, зная что в трапецию вписана окружность, то трапеция равнобедренная, а значит $$AB=CD=15$$, так как у нас дано, что $$CD=17$$, то где-то ошибка в условии. Будем считать, что трапеция равнобедренная, и $$AB = CD$$.

Так как трапеция описана около окружности, суммы противоположных сторон равны: $$AD + BC = AB + CD$$. Значит, $$AD + BC = 15 + 17 = 32$$.

Нам нужно найти $$AD$$. Выразим $$BC$$ через $$AD$$. Для этого опустим высоты из вершин $$B$$ и $$C$$ на основание $$AD$$. Пусть $$BH$$ и $$CK$$ - высоты. Тогда $$AH = KD = (AD - BC) / 2$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора, $$AH^2 + BH^2 = AB^2$$. $$BH$$ это высота трапеции, и ее можно выразить через радиус вписанной окружности $$BH = 2r$$. В данном случае, нам не дан радиус, и дальнейшее решение затруднительно.

Однако, если предположить, что трапеция равнобедренная, но при этом даны разные значения боковых сторон, то задача не имеет однозначного решения без дополнительных данных (например, радиуса вписанной окружности или высоты трапеции).

Предположим, что в условии опечатка, и трапеция не только описана около окружности, но и является равнобокой. В этом случае $$AB=CD$$ и из условия $$AB = 15$$ и $$CD = 17$$ следует, что в условии опечатка и должно быть либо $$AB = 17$$, либо $$CD = 15$$. Допустим $$AB=CD=16$$. Тогда $$AD + BC = 32$$.

Если в условии всё верно, то решения нет. Иначе задача решения не имеет.

К сожалению, без дополнительных данных (высоты или радиуса вписанной окружности) или исправления условия, точное значение $$AD$$ найти невозможно.