2. Трапеция вписана в окружность радиуса 5, причём один из её углов равен 60°. Найдите периметр трапе- ции, если одно её основание является диаметром окружности. ( рис.)

Решение:

• Так как трапеция вписана в окружность и одно из её оснований является диаметром, трапеция является равнобедренной.
• Пусть дана трапеция ABCD, где AD — диаметр окружности, AD = 2 * R = 2 * 5 = 10.
• Один из углов трапеции равен 60°, пусть угол BAD = 60°. Тогда угол CDA = 180° - 60° = 120°.
• Так как трапеция равнобедренная, угол ABC = угол BCD = 120°.
• Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD.
• Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, угол BAH = 60°. Значит, угол ABH = 30°.
• AH = AB * cos(60°) = AB / 2.
• Так как AD = AH + HK + KD, и AH = KD, HK = BC, то AD = 2 * AH + BC.
• В прямоугольном треугольнике ABH, AB = 2 * AH. Также BH = AB * sin(60°) = AB * √3 / 2.
• Так как трапеция вписана в окружность, BC = AB. Следовательно, AD = 2 * AH + AB.
• Так как AB = BC и угол ABC = 120°, угол ABH = 30°. Значит, AH = AB * cos(60°) = AB / 2.
• AD = 2 * (AB / 2) + AB = AB + AB = 2 * AB.
• AD = 10, следовательно, 2 * AB = 10, AB = 5.
• BC = AB = 5.
• Периметр трапеции P = AD + AB + BC + CD = 10 + 5 + 5 + 5 = 25.

Ответ: Периметр трапеции равен 25.