Тренировочная работа № 10 Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 45 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 9 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Автомобиль прошёл некоторое расстояние \( S_n \) до полной остановки.

Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию:

45 м, 36 м, 27 м, ...

Первый член прогрессии \( a_1 = 45 \) м.

Разность прогрессии \( d = -9 \) м.

Чтобы найти общее расстояние до остановки, нам нужно найти количество секунд \( n \), за которое автомобиль остановится, и затем вычислить сумму \( S_n \).

Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Автомобиль остановится, когда пройденное расстояние за следующую секунду будет равно или меньше 0.

\( a_n \leq 0 \)

\( 45 + (n-1)(-9) \leq 0 \)

\( 45 - 9n + 9 \leq 0 \)

\( 54 - 9n \leq 0 \)

\( 54 \leq 9n \)

\( n \geq \frac{54}{9} \)

\( n \geq 6 \)

Значит, автомобиль полностью остановится на 6-й секунде. Проверим:

\( a_1 = 45 \)

\( a_2 = 45 + (2-1)(-9) = 45 - 9 = 36 \)

\( a_3 = 45 + (3-1)(-9) = 45 - 18 = 27 \)

\( a_4 = 45 + (4-1)(-9) = 45 - 27 = 18 \)

\( a_5 = 45 + (5-1)(-9) = 45 - 36 = 9 \)

\( a_6 = 45 + (6-1)(-9) = 45 - 45 = 0 \)

Теперь найдём сумму первых 6 членов прогрессии по формуле \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \):

\( S_6 = \frac{45 + 0}{2} \cdot 6 \)

\( S_6 = \frac{45}{2} \cdot 6 \)

\( S_6 = 45 \cdot 3 \)

\( S_6 = 135 \) м.

Ответ: 135 м.