Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, AD - его высота, BD = 10 см, DC = 5 см. Найди основание АС и высоту AD.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. AD - высота, следовательно, она является и медианой. Значит, D - середина AC.

По условию BD = 10 см и DC = 5 см.

Тогда AC = 2 * DC = 2 * 5 = 10 см.

Для нахождения высоты AD рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора:

$$AD^2 + DC^2 = AC^2$$

Подставим известные значения:

$$AD^2 + 5^2 = AC^2$$

Чтобы найти AC, воспользуемся свойством равнобедренного треугольника, что боковые стороны равны. В нашем случае AB = BC. Так как AD - высота, то треугольник ABD тоже прямоугольный. Тогда:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

$$BC^2 = AD^2 + BD^2$$

И рассмотрим треугольник ADC. $$AC = DC + BD = 5 + 10 = 15$$

$$AD^2 = AC^2 - DC^2$$

Тогда

$$AD = \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$$

Ответ: AC = 10 см, AD = $$10\sqrt{2}$$ см.