2. Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Е лежит на стороне AB, a F- на стороне ВС, причем EF параллельна плоскости ADC. P - середина AD, а К - середина DC. 1) Докажите, что EF||PK. 2) Каково взаимное положение прямых РК и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если ∠ABC=40° и ∠BCA=80°? 3. Плоскости а и в пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в плоскости а. Каково возможное взаимное положение прямой а и плоскости В? Сделайте рисунок и поясните. 4*. Используя рисунок 46, постройте линию пересечения плоскости EFM с плоскостью а. Поясните.

1) Докажите, что EF||PK.

Так как E лежит на AB, F лежит на BC, и EF || плоскости ADC, то EF || AC (по свойству параллельности прямой и плоскости). P - середина AD, K - середина DC, следовательно, PK - средняя линия треугольника ADC, и PK || AC. Из этого следует, что EF || PK.

2) Каково взаимное положение прямых РК и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если ∠ABC=40° и ∠BCA=80°?

Так как PK || AC, а AC пересекает AB, то PK и AB - скрещивающиеся прямые. Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно найти угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Угол между PK и AB равен углу между AC и AB, то есть углу ∠BAC. Зная, что ∠ABC = 40° и ∠BCA = 80°, найдем ∠BAC: $$∠BAC = 180^{\circ} - ∠ABC - ∠BCA = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 80^{\circ} = 60^{\circ}$$. Следовательно, угол между прямыми РК и АВ равен 60°.

3. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая a лежит в плоскости α. Каково возможное взаимное положение прямой a и плоскости β? Сделайте рисунок и поясните.

Прямая a может либо пересекать плоскость β, либо быть параллельной плоскости β, либо лежать в плоскости β. Сделать рисунок, к сожалению, не представляется возможным.

• Если прямая a пересекает плоскость β, то она имеет с ней одну общую точку.
• Если прямая a параллельна плоскости β, то она не имеет с ней общих точек.
• Если прямая a лежит в плоскости β, то все точки прямой a принадлежат плоскости β.

4*. Используя рисунок 46, постройте линию пересечения плоскости EFM с плоскостью α. Поясните.

К сожалению, без возможности построения чертежа, невозможно выполнить построение линии пересечения плоскости EFM с плоскостью α. Но я могу описать шаги, необходимые для этого:

1. Найдите две точки, принадлежащие как плоскости EFM, так и плоскости α.
2. Проведите прямую через эти две точки. Эта прямая и будет линией пересечения плоскостей EFM и α.