Три богатыря Алёша Попович, Добрыня Никитич и Илья Муромец, несколько дней января дежурят на границе. Каждый из богатырей один день дежурит и несколько дней отдыхает, потом опять один день дежурит и несколько дней отдыхает и т. д. Богатырь всегда отдыхает одно и то же число дней, но у разных богатырей количество дней отдыха может различаться. Известно, что 1 января дежурили Алёша и Добрыня, 5 января - Илья и Алёша, а 8 января - Добрыня и Илья. Какого января богатыри впервые будут на дежурстве все вместе?

Чтобы решить эту задачу, нужно найти закономерность дежурств каждого богатыря и определить, когда они снова будут дежурить вместе. * Алёша дежурит 1 и 5 января, значит, его период дежурства составляет 4 дня (1 день дежурства + 3 дня отдыха). Он будет дежурить каждый 4-й день, начиная с 1 января. Это дни: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29... * Добрыня дежурит 1 и 8 января, значит, его период дежурства составляет 7 дней (1 день дежурства + 6 дней отдыха). Он будет дежурить каждый 7-й день, начиная с 1 января. Это дни: 1, 8, 15, 22, 29... * Илья дежурит 5 и 8 января, значит, его период дежурства составляет 3 дня (1 день дежурства + 2 дня отдыха). Он будет дежурить каждый 3-й день, начиная с 5 января. Это дни: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29... Теперь посмотрим, когда все трое будут дежурить в один день. Из списков видно, что все трое дежурят 29 января. Ответ: 29