4. Три концентрические сферы радиусами R, 2R и 3R (см. рис.) имеют равномерно распределённые по их поверхностям заряды q1 = +2q, q2 = +q, q3 = +q соответственно. Известно, что точечный заряд q создаёт на расстоянии R электрическое поле с потенциалом φ1 = 100 В. Чему равен потенциал в точке А, отстоящей от центра сфер на расстоянии RA = 2,5R?

Решение:

Потенциал, создаваемый точечным зарядом \( q \) на расстоянии \( r \), равен:

\[ \varphi = k \frac{q}{r} \]

где \( k \) – электростатическая постоянная.

По условию, потенциал, создаваемый зарядом \( q \) на расстоянии \( R \), равен \( \varphi_1 = 100 \text{ В} \). Это означает, что:

\[ 100 = k \frac{q}{R} \]

Найдем потенциал в точке A, которая находится на расстоянии \( 2,5R \) от центра сфер. Вклад в потенциал в точке A будет от всех трех сфер:

• Сфера радиусом \( R \) и зарядом \( 2q \):
  \[ \varphi_1' = k \frac{2q}{2,5R} = \frac{2}{2,5} k \frac{q}{R} = \frac{2}{2,5} \cdot 100 = 80 \text{ В} \]
• Сфера радиусом \( 2R \) и зарядом \( q \):
  \[ \varphi_2' = k \frac{q}{2,5R} = \frac{1}{2,5} k \frac{q}{R} = \frac{1}{2,5} \cdot 100 = 40 \text{ В} \]
• Сфера радиусом \( 3R \) и зарядом \( q \): Так как точка А находится внутри этой сферы, потенциал, создаваемый зарядом на сфере радиуса 3R в точке А, будет таким же, как и на поверхности этой сферы:
  \[ \varphi_3' = k \frac{q}{3R} = \frac{1}{3} k \frac{q}{R} = \frac{1}{3} \cdot 100 = \frac{100}{3} \approx 33,33 \text{ В} \]

Суммарный потенциал в точке A:

\[ \varphi_A = \varphi_1' + \varphi_2' + \varphi_3' = 80 + 40 + 33,33 = 153,33 \text{ В} \]

Ответ: Потенциал в точке A равен примерно 153,33 В.