25. Три окружности с центрами О1, О2 и Оз и радиусами 5, 1 и 9 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол О1О2О3.

Обозначим радиусы окружностей с центрами O1, O2 и O3 как r1 = 5, r2 = 1, r3 = 9 соответственно. Так как окружности попарно касаются внешним образом, то расстояния между центрами можно выразить как сумму соответствующих радиусов:

• O1O2 = r1 + r2 = 5 + 1 = 6
• O2O3 = r2 + r3 = 1 + 9 = 10
• O1O3 = r1 + r3 = 5 + 9 = 14

Рассмотрим треугольник O1O2O3 со сторонами O1O2 = 6, O2O3 = 10, O1O3 = 14. Чтобы найти угол O1O2O3, воспользуемся теоремой косинусов:

$$O1O3^2 = O1O2^2 + O2O3^2 - 2 \cdot O1O2 \cdot O2O3 \cdot cos(\angle O1O2O3)$$.

Подставим известные значения:

$$14^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot cos(\angle O1O2O3)$$.

$$196 = 36 + 100 - 120 \cdot cos(\angle O1O2O3)$$.

$$196 = 136 - 120 \cdot cos(\angle O1O2O3)$$.

$$60 = -120 \cdot cos(\angle O1O2O3)$$.

$$cos(\angle O1O2O3) = -\frac{60}{120}$$.

$$cos(\angle O1O2O3) = -\frac{1}{2}$$.

Угол, косинус которого равен -1/2, это 120 градусов.

$$ \angle O1O2O3 = 120^{\circ}$$.

Ответ: 120