Три цеха за смену изготавливают 5400 деталей. Первый и второй цех изготавливают 3600 деталей, а второй и третий 3400 деталей. Сколько деталей изготавливает за смену каждый цех? Сколько деталей смогут изготовить эти три цеха, если их производительность увеличится на 100 деталей в смену?

Пусть x - количество деталей, изготавливаемых первым цехом, y - количество деталей, изготавливаемых вторым цехом, z - количество деталей, изготавливаемых третьим цехом.

Составим систему уравнений:

$$x + y + z = 5400$$

$$x + y = 3600$$

$$y + z = 3400$$

Выразим z из первого уравнения: $$z = 5400 - x - y$$

Подставим (x + y) из второго уравнения в выражение для z: $$z = 5400 - 3600 = 1800$$

Теперь найдем y из третьего уравнения: $$y = 3400 - z = 3400 - 1800 = 1600$$

Найдем x из второго уравнения: $$x = 3600 - y = 3600 - 1600 = 2000$$

Теперь найдем, сколько деталей будут изготавливать цеха, если их производительность увеличится на 100 деталей в смену:

Новая производительность первого цеха: $$2000 + 100 = 2100$$

Новая производительность второго цеха: $$1600 + 100 = 1700$$

Новая производительность третьего цеха: $$1800 + 100 = 1900$$

Общее количество деталей: $$2100 + 1700 + 1900 = 5700$$

Ответ: Первый цех изготавливает 2000 деталей, второй - 1600 деталей, третий - 1800 деталей. После увеличения производительности цеха смогут изготовить 5700 деталей.