Троице-Сергиева лавра была основана в XIV веке и до сих пор монахи сохраняют традицию странноприимства.

Это сложносочинённое предложение: первая грамматическая основа — лавра была основана, вторая — монахи сохраняют. Перед союзом «и» между частями сложносочинённого предложения ставим запятую.

Троице-Сергиева лавра была основана в XIV веке, и до сих пор монахи сохраняют традицию странноприимства.