15. Tun 15 № 282 Постройте график функции у = 1-2x/2x²-x и определите, при каких значениях прямая y=k имеет с графиком ровно одну общую точку.

Рассмотрим функцию \(y = \frac{1 - 2x}{2x^2 - x}\).

Прежде всего, упростим выражение:

\[y = \frac{1 - 2x}{x(2x - 1)} = \frac{-(2x - 1)}{x(2x - 1)}\]

Сократим дробь (с учетом, что \(2x - 1
eq 0\) ):

\[y = -\frac{1}{x}\]

Функция определена при \(x
eq 0\) и \(x
eq \frac{1}{2}\).

Таким образом, графиком функции является гипербола \(y = -\frac{1}{x}\) с выколотой точкой при \(x = \frac{1}{2}\).

Найдем значение функции в точке \(x = \frac{1}{2}\):

\[y = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2\]

Значит, на графике есть выколотая точка \((\frac{1}{2}, -2)\).

Теперь определим, при каких значениях \(k\) прямая \(y = k\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

• Если прямая проходит через выколотую точку, то есть \(k = -2\), то общих точек нет.
• Если \(k = 0\), то прямая \(y = 0\) (ось x) не имеет общих точек с гиперболой \(y = -\frac{1}{x}\).
• При всех остальных \(k\) прямая \(y = k\) будет пересекать гиперболу в одной точке.

Однако, нужно исключить случай, когда прямая \(y = k\) проходит через выколотую точку. Это происходит при \(k = -2\).

Таким образом, прямая \(y = k\) имеет с графиком ровно одну общую точку при всех \(k
eq -2\) и \(k
eq 0\).

Ответ: \(k
eq -2\) и \(k
eq 0\)