15. Турист идёт из одного города в другой. Каждый день он проходит на одно и то же расстояние больше, чем прошёл в предыдущий день. Известно, что за первый день турист прошёл 10 километров. Определите расстояние, которое прошёл турист за третий день, если весь путь он прошёл за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Пусть $$a_1$$ - расстояние, которое турист прошел в первый день, а $$d$$ - разница, на которую увеличивается расстояние каждый день. Тогда расстояние, которое он прошел в $$n$$-ый день, равно $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. Общее расстояние за 6 дней равно сумме арифметической прогрессии, которая вычисляется по формуле $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$. В нашем случае, $$a_1 = 10$$, $$n = 6$$, и $$S_6 = 120$$. Подставляем в формулу: $$120 = \frac{6}{2}(2 \cdot 10 + (6-1)d)$$ $$120 = 3(20 + 5d)$$ $$40 = 20 + 5d$$ $$20 = 5d$$ $$d = 4$$ Теперь мы можем найти расстояние, которое турист прошёл в третий день: $$a_3 = a_1 + (3-1)d = 10 + 2 \cdot 4 = 10 + 8 = 18$$. Ответ: 18 километров.