17. Задумали трёхзначное число, которое делится на 37 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$100a + 10b + c$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ - цифры. По условию, $$c = a/2$$ или $$a = 2c$$. Также известно, что число делится на 37. Число, записанное в обратном порядке, имеет вид $$100c + 10b + a$$. Разность между этими числами равна $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c)$$. По условию, эта разность больше 300. Значит, $$99(a - c) > 300$$, откуда $$a - c > 300/99 \approx 3.03$$. Так как $$a$$ и $$c$$ - цифры, то $$a - c$$ должно быть целым числом, то есть $$a - c \ge 4$$. Зная, что $$a = 2c$$, получим $$2c - c \ge 4$$, то есть $$c \ge 4$$. Теперь переберём возможные значения для $$c$$. Если $$c = 4$$, то $$a = 2c = 8$$. Если $$c = 5$$, то $$a = 2c = 10$$, что невозможно, так как $$a$$ - цифра. Значит, $$c = 4$$ и $$a = 8$$. Тогда наше число имеет вид $$8b4$$. Переберём значения $$b$$ от 0 до 9 и проверим, делится ли число $$8b4$$ на 37. Если $$b = 0$$, то 804 / 37 \approx 21.73, не делится. Если $$b = 1$$, то 814 / 37 \approx 22.00, не делится. Если $$b = 2$$, то 824 / 37 \approx 22.27, не делится. Если $$b = 3$$, то 834 / 37 \approx 22.54, не делится. Если $$b = 4$$, то 844 / 37 \approx 22.81, не делится. Если $$b = 5$$, то 854 / 37 = 23, делится. Значит, задуманное число было 854. Проверим условие про разность: 854 - 458 = 396, что больше 300. Ответ: 854