3. У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера: 1. возведи в квадрат 2. прибавь b (b — неизвестное натуральное число) Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая прибавляет к числу b. Программа для исполнителя — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12122 переводит число 2 в число 72. Определите значение b.

Обозначим начальное число как $$x$$. Программа 12122 означает следующее: 1. Команда 1: $$x^2$$ 2. Команда 2: $$x^2 + b$$ 3. Команда 1: $$(x^2 + b)^2$$ 4. Команда 2: $$(x^2 + b)^2 + b$$ 5. Команда 2: $$((x^2 + b)^2 + b) + b = (x^2 + b)^2 + 2b$$ Известно, что, начав с числа 2, мы получим 72. Значит: $$(2^2 + b)^2 + 2b = 72$$ $$(4 + b)^2 + 2b = 72$$ Раскроем скобки: $$16 + 8b + b^2 + 2b = 72$$ $$b^2 + 10b + 16 = 72$$ $$b^2 + 10b - 56 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$b = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-56)}}{2(1)}$$ $$b = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 224}}{2}$$ $$b = \frac{-10 \pm \sqrt{324}}{2}$$ $$b = \frac{-10 \pm 18}{2}$$ Получаем два возможных значения для b: $$b_1 = \frac{-10 + 18}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$b_2 = \frac{-10 - 18}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$ Так как в задании не указано, что b должно быть положительным, рассмотрим оба варианта. Но обычно в таких задачах b - натуральное число. Проверим b = 4: $$(2^2 + 4)^2 + 2*4 = (4 + 4)^2 + 8 = 8^2 + 8 = 64 + 8 = 72$$ Это подходит. Ответ: 4