у которого угол между высотой СН и медианой СМ равен 10°. Найдите угол между биссектрисами углов АСН и ВСМ.

Ответ: 40°

1. Обозначим угол между биссектрисами углов ACH и BCM за x. Тогда: \[x = \frac{1}{2} \angle ACH + \frac{1}{2} \angle BCM\]
2. Сумма углов в треугольнике ACH равна 180°, значит: \[\angle A + \angle ACH + \angle AHC = 180^\circ\] Т.к. угол AHC прямой (CH - высота): \[\angle A + \angle ACH = 90^\circ\] Отсюда: \[\angle ACH = 90^\circ - \angle A\]
3. Аналогично, в треугольнике BCM: \[\angle B + \angle BCM = 90^\circ\] \[\angle BCM = 90^\circ - \angle B\]
4. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: \[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\] \[\angle A + \angle B = 90^\circ\]
5. Угол между высотой CH и медианой CM равен 10°: \[\angle HCM = 10^\circ\] Тогда: \[\angle C = \angle ACH + \angle HCM + \angle BCM\] \[90^\circ = (90^\circ - \angle A) + 10^\circ + (90^\circ - \angle B)\] \[90^\circ = 190^\circ - (\angle A + \angle B) + 10^\circ\] \[\angle A + \angle B = 100^\circ\]
6. Найдем угол x: \[x = \frac{1}{2} \angle ACH + \frac{1}{2} \angle BCM = \frac{1}{2} (90^\circ - \angle A) + \frac{1}{2} (90^\circ - \angle B)\] \[x = \frac{1}{2} (180^\circ - (\angle A + \angle B)) = \frac{1}{2} (180^\circ - 100^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ\]

Ответ: 40°