3. В ДАВС (рисунок) на стороне АС взята точка К, AK = = КС = ВК. угол АКВ на 60° больше угла С. Найдите угол АВК.

Обозначим угол С как $$x$$. Тогда угол AKB равен $$x + 60°$$. Так как AK = KC = BK, то треугольники ABK и BKC - равнобедренные. Следовательно, угол KBC = углу C = $$x$$.

В треугольнике ABK, AK = BK, следовательно, угол BAK = углу ABK.

Сумма углов треугольника ABK равна 180°:

$$BAK + ABK + AKB = 180°$$

$$2ABK + x + 60° = 180°$$ $$2ABK = 120° - x$$ $$ABK = 60° - \frac{x}{2}$$ В треугольнике ABC, сумма углов равна 180°:

$$BAC + ABC + ACB = 180°$$ $$BAC = ABK = 60° - \frac{x}{2}$$ $$ABC = ABK + KBC = 60° - \frac{x}{2} + x = 60° + \frac{x}{2}$$ $$ACB = x$$ $$60° - \frac{x}{2} + 60° + \frac{x}{2} + x = 180°$$ $$120° + x = 180°$$ $$x = 60°$$

Угол C равен 60°, тогда угол AKB равен 60° + 60° = 120°.

$$ABK = 60° - \frac{60°}{2} = 60° - 30° = 30°$$

Ответ: 30°