У прямокутній системі координат у просторі задано конус із вершиною M(4; -9; 7). Осьовим перерізом цього конуса є рівносторонній трикутник AMB. Визначте площу S повної поверхні цього конуса, якщо A(8; -12; 12). У відповіді запишіть значення S/π.

Давайте розв'яжемо цю задачу крок за кроком.

1. Знайдемо довжину твірної конуса MA.

   Довжина відрізка MA обчислюється за формулою відстані між двома точками в тривимірному просторі:

   $$MA = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

   Підставляємо координати точок M(4; -9; 7) та A(8; -12; 12):

   $$MA = \sqrt{(8 - 4)^2 + (-12 - (-9))^2 + (12 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

2. Знайдемо радіус основи конуса.

   Оскільки осьовий переріз конуса є рівностороннім трикутником, то твірна конуса дорівнює діаметру основи конуса. Тому радіус основи r дорівнює половині твірної:

   $$r = \frac{MA}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

3. Знайдемо площу повної поверхні конуса.

   Площа повної поверхні конуса обчислюється за формулою:

   $$S = \pi r (r + l)$$, де r - радіус основи, l - довжина твірної.

   В нашому випадку:

   $$r = \frac{5\sqrt{2}}{2}, \quad l = MA = 5\sqrt{2}$$

   Підставляємо значення у формулу:

   $$S = \pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{5\sqrt{2}}{2} + 5\sqrt{2}) = \pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{15\sqrt{2}}{2} = \pi \cdot \frac{75 \cdot 2}{4} = \frac{150\pi}{4} = \frac{75\pi}{2}$$

4. Знайдемо значення S/π.

   $$\frac{S}{\pi} = \frac{\frac{75\pi}{2}}{\pi} = \frac{75}{2} = 37.5$$

Відповідь: 37.5