У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й ділить середню лінію трапеції на відрізки завдовжки 6 см і 12 см. Знайдіть площу трапеції.

Розв'яжемо цю задачу крок за кроком.

Нехай ABCD – дана рівнобічна трапеція, де AB = CD, AD і BC – основи, і AC – діагональ, яка є бісектрисою кута ∠BAD. Середня лінія трапеції MN ділиться діагоналлю AC на відрізки MK = 6 см і KN = 12 см.

Оскільки AC – бісектриса кута ∠BAD, то ∠BAC = ∠CAD. Також, оскільки AD || BC, то ∠BCA = ∠CAD як внутрішні різносторонні кути. Отже, ∠BAC = ∠BCA, і трикутник ABC є рівнобедреним з AB = BC.

Довжина середньої лінії трапеції MN дорівнює сумі MK і KN: MN = MK + KN = 6 + 12 = 18 см. А середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ: $$MN = \frac{BC + AD}{2}$$. Тому $$BC + AD = 2 \cdot MN = 2 \cdot 18 = 36$$ см.

Оскільки AB = BC, то BC – менша основа трапеції. Розглянемо трикутник AMD, де M – точка на середній лінії, найближча до вершини A. Оскільки трапеція рівнобічна, то діагональ ділить середню лінію так, що менший відрізок середньої лінії (MK = 6 см) дорівнює половині різниці основ, а більший відрізок (KN = 12 см) дорівнює півсумі бічної сторони та меншої основи. Отже, $$MK = \frac{AD - BC}{2}$$. Тому $$AD - BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 6 = 12$$ см.

Тепер у нас є система рівнянь:

$$\begin{cases} BC + AD = 36 \\ AD - BC = 12 \end{cases}$$

Додамо ці два рівняння:

$$2AD = 48$$

Звідси AD = 24 см.

Підставимо значення AD в перше рівняння:

$$BC + 24 = 36$$

Звідси BC = 12 см.

Проведемо висоту BH з вершини B до основи AD. Тоді AH = (AD - BC) / 2 = (24 - 12) / 2 = 6 см.

Оскільки трикутник ABC рівнобедрений (AB = BC), то AB = BC = 12 см. Розглянемо прямокутний трикутник ABH. За теоремою Піфагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$12^2 = 6^2 + BH^2$$

$$144 = 36 + BH^2$$

$$BH^2 = 108$$

$$BH = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$$ см.

Площа трапеції обчислюється за формулою:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$

Підставимо значення:

$$S = \frac{12 + 24}{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{36}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 18 \cdot 6\sqrt{3} = 108\sqrt{3}$$ см².

Відповідь: Площа трапеції дорівнює $$108\sqrt{3}$$ см².