У Васи есть 3 монеты: обычная, с двумя орлами на обоих сторонах, и с двумя решками на обоих сторонах. Он берет одну монету наугад и подбрасывает ее. Вероятность, что выпадет орел, равна 2/3. Какая монета была выбрана?

Разберем эту задачу по теории вероятностей. Пусть: * A - событие, что выпал орел. * M1 - событие, что выбрали обычную монету (орел и решка). * M2 - событие, что выбрали монету с двумя орлами. * M3 - событие, что выбрали монету с двумя решками. Мы знаем, что вероятность события A равна 2/3: \(P(A) = \frac{2}{3}\) Нам нужно определить, какая монета была выбрана, учитывая эту вероятность. По формуле полной вероятности: \(P(A) = P(A|M1)P(M1) + P(A|M2)P(M2) + P(A|M3)P(M3)\) Где: * \(P(A|M1)\) = 1/2 (вероятность выпадения орла на обычной монете). * \(P(A|M2)\) = 1 (вероятность выпадения орла на монете с двумя орлами). * \(P(A|M3)\) = 0 (вероятность выпадения орла на монете с двумя решками). * \(P(M1) = P(M2) = P(M3) = \frac{1}{3}\) (вероятность выбора каждой монеты, так как выбор случайный). Подставляем значения в формулу: \(\frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}\) Чтобы решить это уравнение относительно вероятности выбора каждой монеты, давайте рассмотрим, что произойдет, если предположить, что была выбрана монета с двумя орлами. Если бы была выбрана только монета с двумя орлами, то вероятность выпадения орла всегда была бы 1. Так как вероятность выпадения орла составляет \(\frac{2}{3}\), это означает, что была выбрана какая-то комбинация монет. Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы предположим, что монеты выбирались с разными вероятностями. Пусть вероятность выбора монеты с двумя орлами равна x. Тогда уравнение будет выглядеть так: \(\frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{2} + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{1-x}{2}\) \(\frac{2}{3} = \frac{1}{4} - \frac{x}{4} + x\) \(\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = x - \frac{x}{4}\) \(\frac{8 - 3}{12} = \frac{3x}{4}\) \(\frac{5}{12} = \frac{3x}{4}\) \(x = \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{3}\) \(x = \frac{5}{9}\) Это означает, что вероятность выбора монеты с двумя орлами равна \(\frac{5}{9}\), а вероятность выбора обычной монеты и монеты с двумя решками вместе равна \(\frac{4}{9}\). Таким образом, можно сделать вывод, что была выбрана монета с двумя орлами.