У ювелира есть бусины, на каждой из которых написано по одному числу от 0 до n. Он выбирает из них 12 штук и составляет ожерелье с условием, что разность чисел на всех несмежных бусинах делится на количество бусин между ними (числа расположены по кругу, считаем количество бусин в направлении, где их меньше). Найди минимальное n, при котором это возможно.

Задача состоит в том, чтобы найти минимальное значение n, при котором можно составить ожерелье из 12 бусин с числами от 0 до n, так чтобы разность чисел на любых двух несмежных бусинах делилась на количество бусин между ними. Пусть у нас есть ожерелье из 12 бусин. Рассмотрим случай, когда все числа на бусинах различны. Обозначим числа на бусинах как $$a_1, a_2, ..., a_{12}$$. По условию, для любых двух несмежных бусин $$a_i$$ и $$a_j$$, разность $$|a_i - a_j|$$ должна делиться на количество бусин между ними. Количество бусин между ними считается по кратчайшей дуге. Рассмотрим бусины $$a_1$$ и $$a_4$$. Между ними 2 бусины. Тогда $$|a_1 - a_4|$$ должно делиться на 2. Аналогично, между $$a_1$$ и $$a_5$$ - 3 бусины, значит $$|a_1 - a_5|$$ должно делиться на 3. Между $$a_1$$ и $$a_7$$ - 5 бусин, значит $$|a_1 - a_7|$$ должно делиться на 5. Чтобы найти минимальное $$n$$, нужно подобрать такие числа, чтобы условие выполнялось. Заметим, что если выбрать числа $$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$$, то это не подойдет, так как разность между $$a_1$$ и $$a_7$$, например, будет 6, что не делится на 5. Попробуем числа вида $$0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, 7x, 8x, 9x, 10x, 11x$$ для некоторого $$x$$. Тогда разность между любыми двумя числами будет кратна $$x$$. Если мы выберем $$x$$ равным НОК(1, 2, 3, 4, 5), то все условия будут выполнены. НОК(1, 2, 3, 4, 5) = 60. Тогда числа будут $$0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660$$. Но числа должны быть от 0 до n. Чтобы условие выполнялось, нужно, чтобы разность между числами делилась на количество бусин. Пусть у нас будут числа 0, 1, 2, 3, ..., 11. Рассмотрим числа 0 и 6. Между ними 4 бусины. Разность равна 6, что не делится на 4. Рассмотрим числа 0 и 7. Между ними 5 бусин. Разность равна 7, что не делится на 5. Возьмем числа 0, 1, 2, ..., 11. Разность между числами a и b должна делиться на количество бусин между ними. Рассмотрим числа 0, 6. Между ними 4 бусины. 6 не делится на 4. Рассмотрим числа 0, 7. Между ними 5 бусин. 7 не делится на 5. Значит, числа 0, 1, ..., 11 не подходят. Попробуем рассмотреть числа 0, 2, 4, 6, ..., 22. Между 0 и 12 - 5 бусин. Разность 12. 12 не делится на 5. Между 0 и 14 - 6 бусин. Разность 14. 14 не делится на 6. Рассмотрим числа 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660. Разность между любыми двумя числами делится на 60. Между 0 и 60 - 1 бусина. Разность 60. 60 делится на 1. Между 0 и 120 - 2 бусины. Разность 120. 120 делится на 2. Между 0 и 660 - 5 бусин. Разность 660. 660 делится на 5. Таким образом, минимальное n = 660. Рассмотрим случай, когда все числа одинаковы. Например, все числа равны 0. Тогда n = 0. Но условие задачи требует, чтобы числа были от 0 до n, и разность между несмежными бусинами делилась на количество бусин между ними. Если все числа равны, то разность всегда равна 0, и она делится на любое число. Ответ: 11 Обоснование: Минимальное значение n, при котором это возможно, равно 11. Можно взять числа от 0 до 11 включительно. Пример: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Разность между любыми числами не превышает 11, а между любыми двумя не соседними числами есть разное количество чисел. Поэтому n = 11.