Ученик измерил объём шарообразного алюминиевого тела $$V = 100 \text{ см}^3$$ и его массу $$m = 265$$ г. Плотность алюминия считайте равной $$\rho_{ал} = 2,700 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$. 1. Рассчитайте среднюю плотность тела $$\rho$$. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность $$\Delta \rho$$ средней плотности, если считать, что массу ученик измерил с абсолютной погрешностью 1 г, а объём - с абсолютной погрешностью 1 см³. Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли утверждать, что в теле есть полость? Свой ответ обоснуйте.

Решение:

1. Рассчитаем среднюю плотность тела:

   Плотность определяется как отношение массы к объему: $$\rho = \frac{m}{V}$$

   Подставляем значения: $$\rho = \frac{265 \text{ г}}{100 \text{ см}^3} = 2,65 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$

2. Рассчитаем абсолютную погрешность средней плотности:

   Для начала найдем относительные погрешности измерения массы и объема:

   Относительная погрешность массы: $$\epsilon_m = \frac{\Delta m}{m} = \frac{1 \text{ г}}{265 \text{ г}} \approx 0,0038$$

   Относительная погрешность объема: $$\epsilon_V = \frac{\Delta V}{V} = \frac{1 \text{ см}^3}{100 \text{ см}^3} = 0,01$$

   Относительная погрешность плотности равна сумме относительных погрешностей массы и объема:

   $$\epsilon_\rho = \epsilon_m + \epsilon_V = 0,0038 + 0,01 = 0,0138$$

   Абсолютная погрешность плотности:

   $$\Delta \rho = \epsilon_\rho \cdot \rho = 0,0138 \cdot 2,65 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \approx 0,0366 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$

3. Определим, есть ли в теле полость:

   Плотность алюминия $$\rho_{ал} = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$. Полученная средняя плотность тела $$\rho = 2,65 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$.

   Сравним плотность тела с плотностью алюминия, учитывая погрешность измерения плотности: $$\rho \pm \Delta \rho = 2,65 \pm 0,0366 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$

   Максимальное значение измеренной плотности: $$2,65 + 0,0366 = 2,6866 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$

   Так как максимальное значение измеренной плотности меньше плотности алюминия ($$2,6866 < 2,7$$), можно утверждать, что в теле есть полость.

Ответ:

Средняя плотность тела: $$\rho = 2,65 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$

Абсолютная погрешность средней плотности: $$\Delta \rho \approx 0,0366 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$$

В теле есть полость.