Ученик измерил объём шарообразного алюминиевого тела \(V = 100 \text{ см}^3\) и его массу \(m = 265 \text{ г}\). Плотность алюминия считайте равной \(\rho_{\text{ал}} = 2.700 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\). 1. Рассчитайте среднюю плотность тела \(\rho\). 2. Рассчитайте абсолютную погрешность \(\Delta \rho\) средней плотности, если считать, что массу ученик измерил с абсолютной погрешностью \(1 \text{ г}\), а объём — с абсолютной погрешностью \(1 \text{ см}^3\). Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли утверждать, что в теле есть полость? Свой ответ обоснуйте.

Решение: 1. Средняя плотность тела \(\rho\) рассчитывается по формуле: \[ \rho = \frac{m}{V} \] Подставляем значения: \[ \rho = \frac{265 \text{ г}}{100 \text{ см}^3} = 2.65 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \] 2. Абсолютная погрешность \(\Delta \rho\) средней плотности рассчитывается с учетом погрешностей измерения массы \(\Delta m = 1 \text{ г}\) и объема \(\Delta V = 1 \text{ см}^3\): \[ \Delta \rho = \left| \frac{\partial \rho}{\partial m} \right| \Delta m + \left| \frac{\partial \rho}{\partial V} \right| \Delta V \] Частные производные: \[ \frac{\partial \rho}{\partial m} = \frac{1}{V}, \quad \frac{\partial \rho}{\partial V} = -\frac{m}{V^2} \] Подставляем значения: \[ \Delta \rho = \frac{1}{100 \text{ см}^3} \cdot 1 \text{ г} + \frac{265 \text{ г}}{(100 \text{ см}^3)^2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0.01 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} + 0.0265 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0.0365 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \] Округлим до двух значащих цифр: \(\Delta \rho \approx 0.04 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\). 3. Сравним измеренную плотность с плотностью алюминия: \(\rho = 2.65 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\) и \(\rho_{\text{ал}} = 2.700 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\). Учитывая погрешность измерения плотности, \(\rho \pm \Delta \rho = 2.65 \pm 0.04 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\), видим, что измеренная плотность меньше плотности алюминия. Так как измеренная плотность тела меньше плотности алюминия, можно утверждать, что в теле есть полость. Ответ: 1. Средняя плотность тела: \(\rho = 2.65 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\). 2. Абсолютная погрешность средней плотности: \(\Delta \rho \approx 0.04 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}\). 3. Да, можно утверждать, что в теле есть полость, так как измеренная плотность меньше плотности алюминия.