25. Углы при одном из оснований трапеции равны 7° и 83°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 14 и 11. Найдите основания трапеции.

Решение: 1. Пусть дана трапеция (ABCD), где (AD) и (BC) - основания, а углы при основании (AD) равны (\angle A = 7^\circ) и (\angle D = 83^\circ). 2. Пусть (M) и (N) - середины боковых сторон (AB) и (CD) соответственно. Тогда (MN) - средняя линия трапеции, и (MN = \frac{AD + BC}{2}). 3. Пусть (KL) - отрезок, соединяющий середины оснований (BC) и (AD) соответственно. Тогда (KL) равно полуразности оснований, (|AD - BC|/2 = 14\) или (11), а (MN = 14) или (11). 4. Из условия следует, что (\angle A + \angle D = 7^\circ + 83^\circ = 90^\circ). Это означает, что трапеция является прямоугольной. 5. Пусть (AD = a) и (BC = b). Тогда (MN = \frac{a + b}{2}). Также дано, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен (\frac{|a - b|}{2}). 6. Случай 1: (MN = 14) и (KL = 11). Тогда (\frac{a + b}{2} = 14) и (\frac{|a - b|}{2} = 11). (a + b = 28) и (|a - b| = 22). Если (a > b), то (a - b = 22). Тогда (a + b = 28) и (a - b = 22). Сложив уравнения, получим (2a = 50), значит (a = 25). Тогда (b = 28 - 25 = 3). Если (a < b), то (b - a = 22). Тогда (a + b = 28) и (b - a = 22). Сложив уравнения, получим (2b = 50), значит (b = 25). Тогда (a = 28 - 25 = 3). 7. Случай 2: (MN = 11) и (KL = 14). Тогда (\frac{a + b}{2} = 11) и (\frac{|a - b|}{2} = 14). (a + b = 22) и (|a - b| = 28). Если (a > b), то (a - b = 28). Тогда (a + b = 22) и (a - b = 28). Сложив уравнения, получим (2a = 50), значит (a = 25). Тогда (b = 22 - 25 = -3). Это невозможно, так как длина не может быть отрицательной. Если (a < b), то (b - a = 28). Тогда (a + b = 22) и (b - a = 28). Сложив уравнения, получим (2b = 50), значит (b = 25). Тогда (a = 22 - 25 = -3). Это невозможно, так как длина не может быть отрицательной. Ответ: Основания трапеции равны 25 и 3.