4. Углы при основании одного равнобедренного треугольника равны углам при основании другого равнобедренного треугольника. Боковая сторона и основание первого треугольника соответственно равны 15 см и 18 см, а высота второго треугольника, проведенная к основанию, — 24 см. Найдите периметр второго треугольника.

Решение: 1. Пусть первый треугольник - \(\triangle ABC\) (\(AB = BC = 15\), \(AC = 18\)) и второй треугольник - \(\triangle A_1B_1C_1\) (\(A_1B_1 = B_1C_1\), \(h_{B_1} = 24\)). 2. Углы при основании равны, следовательно треугольники подобны. Значит, существует коэффициент подобия \(k\). 3. Найдем высоту \(h_B\) в первом треугольнике. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABH\), где \(H\) - середина \(AC\). Тогда \(AH = \frac{1}{2} AC = 9\). По теореме Пифагора \(h_B = BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\). 4. Тогда коэффициент подобия \(k = \frac{h_{B_1}}{h_B} = \frac{24}{12} = 2\). 5. Значит, \(A_1B_1 = B_1C_1 = 2 cdot 15 = 30\) и \(A_1C_1 = 2 cdot 18 = 36\). 6. Периметр второго треугольника \(P = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1 = 30 + 30 + 36 = 96\). Ответ: Периметр второго треугольника равен 96 см.