5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 54 см и 96 см. Найдите периметр треугольника.

Решение: 1. Пусть \(\triangle ABC\) - прямоугольный треугольник (\(\angle C = 90^{\circ}\)), \(CD\) - высота, проведенная к гипотенузе \(AB\). \(AD = 54\) см, \(DB = 96\) см. 2. \(AB = AD + DB = 54 + 96 = 150\) см. 3. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: \(CD^2 = AD \cdot DB = 54 \cdot 96 = 5184\). Тогда \(CD = \sqrt{5184} = 72\) см. 4. Из прямоугольного \(\triangle ADC\): \(AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{54^2 + 72^2} = \sqrt{2916 + 5184} = \sqrt{8100} = 90\) см. 5. Из прямоугольного \(\triangle BDC\): \(BC = \sqrt{DB^2 + CD^2} = \sqrt{96^2 + 72^2} = \sqrt{9216 + 5184} = \sqrt{14400} = 120\) см. 6. Периметр треугольника \(P = AB + AC + BC = 150 + 90 + 120 = 360\) см. Ответ: Периметр треугольника равен 360 см.