Углы треугольника АВС относятся так <A:<B:<C = 1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 14. Найдите отрезок МС.

Решение:

Пусть \( \angle A = x \). Тогда \( \angle B = 2x \) и \( \angle C = 3x \).

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[ x + 2x + 3x = 180^{\circ} \]

\[ 6x = 180^{\circ} \]

\[ x = 30^{\circ} \]

Значит, \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle B = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \), \( \angle C = 3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ} \).

Треугольник АВС — прямоугольный, с прямым углом С.

ВМ — биссектриса угла АВС. Угол АВС равен 60°, значит, \( \angle ABM = \angle MBC = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник BCM:

\[ \angle BMC = 180^{\circ} - \angle MBC - \angle BCM = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ} \]

В треугольнике BCM углы равны: \( \angle MBC = 30^{\circ} \), \( \angle BMC = 60^{\circ} \), \( \angle BCM = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BCM катет MC лежит напротив угла 30° (\( \angle MBC \)). Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Гипотенуза треугольника BCM — это сторона BC (напротив угла 90°).

Значит, \( MC = \frac{1}{2} BC \).

Однако, мы знаем длину биссектрисы BM = 14, а не длину стороны BC.

Для нахождения MC, используем теорему синусов в треугольнике BCM:

\[ \frac{MC}{\sin(\angle MBC)} = \frac{BM}{\sin(\angle BCM)} \]

\[ \frac{MC}{\sin(30^{\circ})} = \frac{14}{\sin(90^{\circ})} \]

\[ \frac{MC}{1/2} = \frac{14}{1} \]

\[ MC = 14 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ MC = 7 \]

Ответ: 7.