2. Угол при основании равнобедренного треугольника АВС равен 32°. АВ – его боковая сторона, АМ – биссектриса треугольника. Найдите углы треугольника АВМ. (Рассмотрите два случая.)

Ответ: ∠АВМ = 32° или ∠АВМ = 58°

1. Первый случай: ∠A = 32°
   • ∠B = ∠A = 32° (углы при основании равнобедренного треугольника равны)
   • ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 32° - 32° = 116°
   • AM - биссектриса, значит, ∠BAM = ∠CAM = ∠A / 2 = 32° / 2 = 16°
   • В треугольнике ABM: ∠ABM = 180° - ∠BAM - ∠AMB. Чтобы найти ∠AMB, рассмотрим треугольник AMC, в котором ∠ACM = 116°, ∠CAM = 16°. Тогда ∠AMC = 180° - ∠ACM - ∠CAM = 180° - 116° - 16° = 48°. Так как ∠AMB и ∠AMC - смежные, то ∠AMB = 180° - ∠AMC = 180° - 48° = 132°.
   • ∠ABM = 180° - 16° - 132° = 32°
2. Второй случай: ∠B = 32°
   • ∠A = ∠C = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 32°) / 2 = 74°
   • AM - биссектриса, значит, ∠BAM = ∠CAM = ∠A / 2 = 74° / 2 = 37°
   • В треугольнике ABM: ∠ABM = 180° - ∠BAM - ∠AMB. Чтобы найти ∠AMB, рассмотрим треугольник AMC, в котором ∠ACM = 74°, ∠CAM = 37°. Тогда ∠AMC = 180° - ∠ACM - ∠CAM = 180° - 74° - 37° = 69°. Так как ∠AMB и ∠AMC - смежные, то ∠AMB = 180° - ∠AMC = 180° - 69° = 111°.
   • ∠ABM = 180° - 37° - 111° = 32°

Ответ: ∠АВМ = 32° или ∠АВМ = 58°