Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника ABC, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 10 см. Найдите основание треугольника.

Давайте решим эту задачу по геометрии.

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где угол напротив основания (угол B) равен 120°. Нам нужно найти основание AC, зная, что высота, проведенная к боковой стороне, равна 10 см.

1. Найдем углы при основании:

Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит:

$$ \angle A = \angle C = \frac{180° - 120°}{2} = 30° $$

Итак, углы при основании равны 30°.

2. Рассмотрим высоту, проведённую к боковой стороне:

Пусть высота BD проведена к боковой стороне AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В этом треугольнике угол A = 30°, а BD = 10 см.

3. Найдем боковую сторону AB:

В прямоугольном треугольнике ABD, катет BD лежит против угла 30°. Известно, что катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, AB (гипотенуза) в два раза больше BD:

$$ AB = 2 \cdot BD = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см} $$

Так как треугольник ABC равнобедренный, AB = BC = 20 см.

4. Применим теорему синусов:

Для нахождения основания AC воспользуемся теоремой синусов:

$$ \frac{AC}{\sin{\angle B}} = \frac{AB}{\sin{\angle C}} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{AC}{\sin{120°}} = \frac{20}{\sin{30°}} $$

Выразим AC:

$$ AC = \frac{20 \cdot \sin{120°}}{\sin{30°}} $$

Знаем, что $$ \sin{120°} = \sin{(180° - 60°)} = \sin{60°} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$, и $$ \sin{30°} = \frac{1}{2} $$. Тогда:

$$ AC = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 20 \sqrt{3} $$

Итак, основание AC равно $$ 20\sqrt{3} $$ см.

Ответ: Основание треугольника равно $$ 20\sqrt{3} $$ см.