Определим степень окисления марганца в каждом соединении:
1. $$Mn(OH)_2$$: Степень окисления OH равна -1, поэтому степень окисления марганца равна +2.
2. $$Mn_2O_3$$: Степень окисления кислорода равна -2. Общий отрицательный заряд $$2 * (-2) = -6$$. Тогда суммарный положительный заряд двух атомов марганца равен +6, значит, степень окисления каждого атома марганца равна +3.
3. $$Mn_2O_7$$: Степень окисления кислорода равна -2. Общий отрицательный заряд $$7 * (-2) = -14$$. Тогда суммарный положительный заряд двух атомов марганца равен +14, значит, степень окисления каждого атома марганца равна +7.
4. $$K_2MnO_4$$: Степень окисления калия равна +1, степень окисления кислорода равна -2. Общий положительный заряд $$2 * (+1) = +2$$. Общий отрицательный заряд $$4 * (-2) = -8$$. Тогда степень окисления марганца равна x. $$2 + x - 8 = 0$$, следовательно, $$x = +6$$.
Ответ: 4