Укажите канонические уравнения прямой, заданной уравнениями: $$\begin{cases} x + 3y - 5z - 7 = 0 \ 2x - 3y + 3z + 4 = 0 \end{cases}$$ 1) $$\frac{x-1}{-6} = \frac{y-2}{-13} = \frac{z}{-9}$$ 2) $$\frac{x-1}{24} = \frac{y-2}{7} = \frac{z}{3}$$ 3) $$\frac{x+1}{-6} = \frac{y+2}{-13} = \frac{z}{-9}$$ 4) $$\frac{x-1}{-6} = \frac{y-2}{13} = \frac{z}{-9}$$

Для начала, нам нужно найти направляющий вектор прямой. Это можно сделать, взяв векторное произведение нормальных векторов плоскостей, заданных уравнениями. Нормальные векторы плоскостей: $$\vec{n_1} = (1, 3, -5)$$ и $$\vec{n_2} = (2, -3, 3)$$. Направляющий вектор прямой: $$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (1 \cdot 3 - (-5) \cdot (-3), -5 \cdot 2 - 1 \cdot 3, 1 \cdot (-3) - 3 \cdot 2) = (3 - 15, -10 - 3, -3 - 6) = (-12, -13, -9)$$. Теперь нужно найти точку на прямой. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x + 3y - 5z - 7 = 0 \ 2x - 3y + 3z + 4 = 0 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$3x - 2z - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{2z + 3}{3}$$ Подставим $$x$$ в первое уравнение: $$\frac{2z + 3}{3} + 3y - 5z - 7 = 0 \Rightarrow 2z + 3 + 9y - 15z - 21 = 0 \Rightarrow 9y - 13z - 18 = 0 \Rightarrow y = \frac{13z + 18}{9}$$ Пусть $$z = 0$$, тогда $$x = 1$$ и $$y = 2$$. Точка на прямой: $$(1, 2, 0)$$. Канонические уравнения прямой: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Подставим значения: $$\frac{x - 1}{-12} = \frac{y - 2}{-13} = \frac{z}{-9}$$ Умножим все части на -1, чтобы направить вектор в противоположном направлении. $$\frac{x - 1}{12} = \frac{y - 2}{13} = \frac{z}{9}$$ Проверим, какой из вариантов соответствует полученному уравнению. Ни один из предложенных вариантов не совпадает с нашим результатом. Однако, заметим, что в варианте 4 знаменатели похожи на правильные, но знак у 13 неправильный. Если бы направляющий вектор был (-12, 13, -9), тогда бы ответ был: $$\frac{x-1}{-12} = \frac{y-2}{13} = \frac{z}{-9}$$ Это не один из предложенных вариантов, поэтому я не могу выбрать правильный ответ из предоставленных. Однако, я вижу, что есть небольшая ошибка в вычислениях. Давайте проверим векторное произведение еще раз. $$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (3 \cdot 3 - (-5) \cdot (-3), -5 \cdot 2 - 1 \cdot 3, 1 \cdot (-3) - 3 \cdot 2) = (9 - 15, -10 - 3, -3 - 6) = (-6, -13, -9)$$. Теперь каноническое уравнение: $$\frac{x-1}{-6} = \frac{y-2}{-13} = \frac{z}{-9}$$ Это соответствует варианту 1. **Ответ:** 1