5. Укажите номер верного утверждения. 1) В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона. 2) Если один угол треугольника больше 120°, то два других его угла меньше 30°. 3) Если все стороны треугольника меньше 1, то и хотя бы одна его высота больше 1. 4) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90°.

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем каждое из утверждений и найдем верное. 1) В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона. Это утверждение неверно. В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона, а против большего угла лежит большая сторона. Это одно из основных свойств треугольников. 2) Если один угол треугольника больше 120°, то два других его угла меньше 30°. Давайте проверим это утверждение. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть один угол больше 120°, например, он равен $$120 + x$$, где $$x > 0$$. Тогда сумма двух других углов равна $$180 - (120 + x) = 60 - x$$. Так как $$x > 0$$, то сумма двух других углов меньше 60°. Это означает, что каждый из этих углов может быть и больше 30°, и меньше 30°. Например, если один угол 121°, то на два других остается 59°. Они могут быть, к примеру, 30° и 29°, а могут быть 20° и 39°. Следовательно, утверждение не всегда верно. 3) Если все стороны треугольника меньше 1, то и хотя бы одна его высота больше 1. Это утверждение неверно. Рассмотрим пример: пусть треугольник имеет стороны, очень близкие к 1, но при этом он очень «плоский» (близок к прямой линии). Тогда его высота будет очень маленькой, меньше 1. 4) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90°. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Следовательно, сумма двух других углов (острых) равна $$180 - 90 = 90°$$. Значит, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а значит, не превосходит 90°. Это утверждение верно. Таким образом, верное утверждение под номером 4.