Проанализируем каждое утверждение:
Предложение 1: В 1613 году Михаил стал первым царём из династии Романовых, которые царствовали на Руси триста четыре года.
Это сложное предложение, состоящее из двух простых. Сказуемое стал царём - составное именное. Утверждение неверно.
Предложение 2: Михаила и его матери в это время в Москве не было; они, освобождённые из московского плена при поляках, уехали, укрываясь от опасностей, в свою вотчину рядом с Костромой.
Это сложное предложение, части которого соединены бессоюзной связью. Утверждение верно.
Предложение 3: Но именно там произошёл случай, чуть не ставший для них трагическим.
Обособленное определение чуть не ставший для них трагическим. Утверждение верно.
Предложение 4: Избранного на царский престол Михаила Романова разыскивали под Костромой поляки.
Это простое односоставное неопределённо-личное предложение. Главный член выражен глаголом во множественном числе, прошедшем времени. Утверждение верно.
Предложение 5: Узнав о замысле поляков, Иван Сусанин, роста одной из деревень, успел послать к Романовым гонца с предупреждением о приближении к Романовым поляков и посоветовав им укрыться за крепкими стенами Костромского Ипатьевского монастыря.
В предложении есть обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом узнав о замысле поляков. Второе обособленное обстоятельство отсутствует. Утверждение неверно.
Таким образом, верные ответы: 2, 3, 4.
Ответ: 234