Выполним синтаксический анализ каждого предложения, чтобы определить грамматические основы.
Предложение 1: В 1613 году Михаил стал первым царём из династии Романовых, которые царствовали на Руси триста четыре года.
Грамматическая основа: Михаил стал царём (грамматическая основа указана верно).
Предложение 2: Михаила и его матери в это время в Москве не было; они, освобождённые из московского плена при поляках, уехали, укрываясь от опасностей, в свою вотчину рядом с Костромой.
Грамматическая основа: не было (грамматическая основа указана верно).
Предложение 3: Но именно там произошёл случай, чуть не ставший для них трагическим.
Грамматическая основа: случай произошёл (в задании указано только произошёл случай, что является неполной грамматической основой).
Предложение 4: Избранного на царский престол Михаила Романова разыскивали под Костромой поляки.
Грамматическая основа: поляки разыскивали (грамматическая основа указана верно).
Предложение 5: Узнав о замысле поляков, Иван Сусанин, роста одной из деревень, успел послать к Романовым гонца с предупреждением о приближении к Романовым поляков и посоветовав им укрыться за крепкими стенами Костромского Ипатьевского монастыря.
Грамматическая основа: Сусанин успел послать (в задании указано только староста успел послать, что является неполной грамматической основой, так как Иван Сусанин - это и есть староста).
Таким образом, верные ответы: 1, 2, 4.
Ответ: 124