Выполним задание.
Я сегодня буду ночевать у бабушки. Сказуемое: буду ночевать - составное глагольное.
Иван Васильевич начал грустно приготовляться к ночлегу. Сказуемое: начал приготовляться - составное глагольное.
Наталья Юрьевна была нашей новой учительницей. Сказуемое: была учительницей - составное именное.
Он боится быть смешным. Сказуемое: боится быть смешным - составное глагольное.
Тропа здесь проложена по увалам с правой стороны долины. Сказуемое: тропа проложена - составное именное.
Ответ: 1) составное глагольное, 2) составное глагольное, 3) составное именное, 4) составное глагольное, 5) составное именное.