Улитка, ползая по пересеченной местности, за первый час проползла 800 мм, а за каждый следующий час она проползала на 25 мм меньше, чем за предыдущий. Сколько времени она потратила на путь, равный 5700 мм?

Пусть $$n$$ – количество часов, которые улитка потратила на путь. Тогда расстояние, которое она проползла за каждый час, образует арифметическую прогрессию, где первый член $$a_1 = 800$$, а разность $$d = -25$$. Сумма $$n$$ членов арифметической прогрессии равна:\ $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$
В нашем случае, $$S_n = 5700$$, $$a_1 = 800$$, $$d = -25$$. Подставим значения в формулу:\ $$5700 = \frac{n}{2}(2 \cdot 800 + (n-1)(-25))$$\ $$11400 = n(1600 - 25n + 25)$$
$$11400 = 1625n - 25n^2$$\ $$25n^2 - 1625n + 11400 = 0$$\ Разделим обе части на 25:\ $$n^2 - 65n + 456 = 0$$\ Решим квадратное уравнение относительно $$n$$:\ $$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
$$n = \frac{65 \pm \sqrt{(-65)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 456}}{2 \cdot 1}$$
$$n = \frac{65 \pm \sqrt{4225 - 1824}}{2}$$
$$n = \frac{65 \pm \sqrt{2401}}{2}$$
$$n = \frac{65 \pm 49}{2}$$
Получаем два возможных значения для $$n$$:\ $$n_1 = \frac{65 + 49}{2} = \frac{114}{2} = 57$$\ $$n_2 = \frac{65 - 49}{2} = \frac{16}{2} = 8$$\ Проверим, какое из значений подходит. Если $$n=57$$, то последний член прогрессии будет:\ $$a_{57} = a_1 + (57-1)d = 800 + 56 \cdot (-25) = 800 - 1400 = -600$$\ Так как расстояние не может быть отрицательным, то значение $$n=57$$ не подходит. Если $$n=8$$, то последний член прогрессии будет:\ $$a_8 = a_1 + (8-1)d = 800 + 7 \cdot (-25) = 800 - 175 = 625$$\ Все члены прогрессии положительны, поэтому значение $$n=8$$ подходит. Ответ: 8